Отбор и решение задач по теме: «Признаки делимости»
Уважаемые Коллеги, как Вы думаете, какие задачи, сформулированные в обобщенном виде, относятся к математическим задачам, а какие к учебно-познавательным?
Задачи:
Группа 1 - Учебно-познавательные задачи
Группа 2 - Математические задачи
Группы
Задачи
Составьте предписание для решения задач определённого вида
Составьте схему поиска решения задачи
Среди данного набора чисел выберите те, которые кратны указанному числу
Составьте набор чисел для подведения под понятие
Составьте задачу на применение признака делимости
Докажите, что если число удовлетворяет определённым условиям, то оно кратно конкретному числу.
Разложите число на простые множители
Найдите число, удовлетворяющее указанным в задаче условиям
Решите задачу на применение признаков делимости
Уважаемые Коллеги, познакомьтесь с общими характеристиками групп, учебными действиями учащихся при решении задач, которые учитываются при отборе задач, а также с примерами математических задач и их решениями для организации групповой работы при обучении теме «Признаки делимости»
Первая группа
Общая характеристика 1 группы
Учащиеся первой группы решают задачи на использование признаков делимости на 2, 5, 10 и 3, 9, используя образец решения, предписание или другие средства помощи. Осуществляют действия под руководством учителя.
Учебные действия учащихся 1 группы
Знают формулировки признаков делимости на 2, 5 и 10, 3 и 9; могут привести примеры чисел, к которым можно применить тот или иной признак делимости. Могут применить признаки делимости при решении задач, которые в явном виде связаны с признаками делимости.
При решении задач учащийся:
1) сравнивает задачу, которую нужно решить с задачей в образце;
2) анализирует решение задачи, представленное в образце;
3) выявляет последовательность действий в процессе решения;
4) сравнивает действия решения с предписанием решения задач этого вида;
5) выполняет действия в соответствии с готовым предписанием; решает простые задачи.
Примеры задач: 1.1 1.2 1.3
Примеры математических задач
1.1 Текст задачи
Используя информационную схему «Признаки делимости», выявите верное утверждение:
А) если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на три;
Б) чётное число не может делиться на 5.
Рассуждения учащихся и решение задачи
1) Так как по признаку делимости на три «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3», то утверждение А верное.
2) Так как если число оканчивается чётной цифрой 0, 2, 4, 6 или 8, то оно чётное и если число оканчивается 0, то оно делится на 5 (по признаку делимости на 5), то утверждение Б неверное.
Ответ: утверждение А верное.
1.2 Текст задачи
Могут ли 185 теннисных мячей быть упакованы в коробки по 3 штуки? Решите задачу, используя образец решения.
Рассуждения учащихся и решение задачи
1) Так как 1+8+5=14 и 14 не делится на 3, то 185 не делится на 3 (по признаку делимости на 3).
2) Так как 185 не делится на 3, то мячи не могут быть упакованы в коробки по три штуки.
Ответ: нет, упаковать нельзя.
1.3 Текст задачи
Анна купила пять одинаковых коробок с карандашами для того чтобы подарить их своим друзьям на праздник. Может ли в них оказаться: всего: 87 карандашей? 90 карандашей? Решите задачу, используя предписание.
Решение
1) Так как 87, оканчивается на цифру 7, то число 87 не делится на 5 без остатка (по признаку делимости на 5), значит, в коробках не может оказаться 87 карандашей.
2) Так как 90, оканчивается на цифру 0, то 90 делится на 5 (по признаку делимости на 5), значит, в коробках может оказаться 90 карандашей.
Ответ: 90 карандашей может оказаться в коробках.
Вторая группа
Общая характеристика 2 группы
Учащиеся решают задачи, используя частично составленное предписание или полное, но только в случае возникновения затруднений. Осуществляют действия самостоятельно или частично с помощью средств помощи при возникновении затруднений.
Учебные действия учащихся 2 группы
Знают признаки делимости на 2, 5 и 10, 3 и 9; могут доказать свойства делимости и некоторые признаки; конкретизируют понятие “делимость” примерами; могут применить признаки делимости при решении многошаговых задач.
При решении задач учащийся:
1) анализирует задачу, которую нужно решить;
2) распознаёт вид задачи по конкретным характерным признакам;
3) выявляет условие, требование задачи, известные и неизвестные компоненты;
4) использует понятие и его свойства при решении задач;
5) решает практические задачи, приводящие к расширению известных признаков делимости;
6) обобщает решение задач на применение признаков делимости и составляет предписание (алгоритм), используя частично-заполненную схему.
Примеры задач: 2.1 2.2 2.3
Примеры математических задач
2.1 Текст задачи
Выберите неверные утверждения:
А) если сумма цифр числа делится на 5, то и число делится на 5;
Б) нечётное число может делиться на 2;
В) если каждое из двух чисел делится на какое-то число, то и сумма этих двух чисел делится на это число.
Рассуждения учащихся и решение задачи
1) Так как число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5 (по признаку делимости на 5), то утверждение А неверное;
2) Так как числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8 чётные (по определению), и эти числа делятся на 2 (по признаку делимости на 2), то утверждение Б неверное;
3) Так как, если каждое слагаемое суммы делится на число, то и значение суммы делится на это число (по свойству делимости суммы на число), то утверждение В верное.
Ответ: утверждение А и Б неверные.
2.2 Текст задачи
Одна мастерская компании по подключению и настройке различных видов бытовой техники приняла за день 153 заявки, а вторая – 234 заявки. Можно ли все эти заявки распределить поровну между девятью ремонтными бригадами компании.
Рассуждения учащихся и решение задачи
1) Так как одна мастерская приняла 153 заявки и 1+5+3=9, то 153 делится на 9 (по признаку делимости на 9).
2) Так как вторая мастерская приняла 234 заявки и 2+3+4=9, то 234 делится на 9 (по признаку делимости на 9).
3) Так как 153 делится на 9 (п. 1) и 234 делится на 9 (п. 2), то (153+234) делится на 9 (по признаку делимости суммы на число).
4) Так как (153+234) делится на 9, то все заявки можно распределить между девятью бригадами.
Ответ: да, распределить можно.
2.3 Текст задачи
Андрей купил три одинаковых альбомов для рисования и пять тетрадей для математики по 53 рубля. Когда продавец назвал их общую стоимость 561 рублей, Андрей подумал, что продавец ошибся. Он попросил продавца пересчитать общую сумму. Кто прав: Андрей или продавец?
Решение
1) Так как купил три тетради по 53 рубля, то 53·5=265 (руб.) – стоят все тетради;
2) Так как продавец назвал общую стоимость 561 рублей (по условию) и 265 рублей стоят тетради, то 561–265=296
(руб.) – должны стоить все альбомы;
3) Так как 296 рублей должны стоить три одинаковых альбома и 2+9+6=17, то 296 не делится на 3 (по признаку делимости на 3).
4) Так как 296 не делится на 3 (п. 3), то нельзя купить три одинаковых альбома.
Вывод. Так как нельзя купить три одинаковых альбома, то продавец ошибся, а Андрей прав.
Ответ: Андрей прав.
Третья группа
Общая характеристика 3 группы
Осуществляют действия самостоятельно, не используя средства помощи
Учебные действия учащихся 3 группы
Знает определение понятия “делимость”; доказывает свойства и признаки делимости; характеризует понятие делимости; представляет один признак делимости с опорой на другие признаки; использует понятие делимости и свойства делимости при проведении рассуждений; может применить признаки делимости при решении многошаговых задач, которые не связаны с делимостью в явном виде.
При решении задач учащийся:
1) решает практические задачи, приводящие к расширению известных признаков делимости;
2) обобщает процесс решения задачи на применение признаков делимости;
3) составляет предписание (алгоритм).
Примеры задач: 3.1 3.2 3.3
Примеры математических задач
3.1 Текст задачи
Приведите пример трёхзначного числа, первая цифра которого 2, и оно кратно 5 и 9, но не делится на 2.
Решение
1) Так как число кратно 5, то оно оканчивается цифрой 0 или 5 (по признаку делимости на 5).
2) Так как число не делится на 2, то последняя цифра числа не должна быть чётной (по признаку делимости на 2).
3) Так как последняя цифра числа может быть 0 или 5 (п. 1) и последняя цифра числа не должна быть чётной (п. 2), то последняя цифра 5.
4) Так как число кратно 9, то сумма цифр число должна быть кратна 9 (по признаку делимости на 9).
5) Так как первая цифра числа 2 (п. 2), а последняя – 5 (п. 3), и сумма цифр числа должна быть кратна 9, то третья цифра 2.
Вывод. Так как первая цифра числа 2 (п. 2), а последняя – 5 (п. 3), и третья цифра 2, то получим число 225.
Ответ: 225
3.2 Текст задачи
Задумали семизначное число, которое записано тремя разными цифрами, и которое делится на каждую из них и на 4. Какое число могли задумать?
Рассуждения учащихся и решение задачи
1) Так как задуманное число должно делиться на каждую цифру, которыми оно записано, то среди цифр в записи числа нет цифры 0.
2) Так как задуманное число делится на 4 , то число, из двух последних цифр числа должно делиться на 4 (по признаку делимости на 4).
3) Так как число, из двух последних цифр числа должно делиться на 4, то пусть это будет наименьшее двузначное число 12, тогда в записи числа имеем цифры 1 и 2.
4) Так как задуманное число должно делиться на каждую цифру числа и число из двух последних цифр 12, то задуманное число делится на 1 и на 2 (по свойству делимости на 1 и по признаку делимости на 2).
5) Так как в записи числа три различных цифры, то третьей цифрой может быть цифра 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, которая повторяется пять раз: *****12
6) Так как задуманное число должно делиться на каждую из цифр записи числа, то проверим, например, цифру 3 и выполнение деления числа на 3: 3333312, так как 3+3+3+3+3+1+2=18 и 18 делится на 3, то и число 3333312 делится на 3.
Вывод. Значит, задуманным числом может быть число 3333312.
Ответ: 3333312.
3.3 Текст задачи
Петя задумал наименьшее натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 225. Какое число задумал Петя?
Решение
1) Так как Петя задумал число, которое делится на 225, то разложим число 225 на простые множители
2) Так как 225=32·52, то задуманное число делится на 3, на 5, на 9, на 15, на 25 и на 75.
3) Так как задуманное число делится на 3, на 5, на 9, на 15, на 25 и на 75, то нужно, чтобы выполнялось деление на 9 и на 25.
4) Так как задуманное число делится на 9 и это число записано цифрами 0 и 1, то сумма цифр числа должна делиться на 9 (по признаку делимости на 9).
5) Так как сумма цифр числа делится на 9 (п. 4) и Петя задумал наименьшее число, то в записи числа девять цифр 1.
6) Так как задуманное число делится на 25 и это число записано цифрами 0 и 1, то две последних цифры числа должны быть 0 (по признаку делимости на 25).
7) Так как в записи числа девять цифр 1 (п. 5) и две последние цифры 0 (п. 6), то Петя задумал число
11111111100.
Ответ: 11111111100 – задуманное число.
Как Вы думаете, как соотносятся понятия “математическая задача” и “учебно-познавательная задача” с содержательными характеристиками процесса решения задачи?
Характеристиками:
1) Анализ, моделирование проблемы и, возможно, решение или доказательство в процессе выполнения работы над математической моделью с использованием математического аппарата.
2) Формирование и оценка предметных знаний, формирование метапредметных умений, ориентированных на применение к решению задач по конкретной теме.
Понятия:
Математическая задача
Учебно-познавательная задача